1999 年 12 月 17 日 〜 12 月 31 日

図 1 は大きさの違う 2 つの直角二等辺三角形 ABC、ADE を、点 A および、辺 AB と辺 AE が重なるように置いた図です。ただし、AB = AC、DA = DE で、点 F は辺 BC と辺 AD の交点です。

三角形 ADE を点 A を中心に点 D が辺 BC 上に来るまで時計回りに回転させます。このとき、辺 BC と辺 AE の交点を G とします（図 2）。

BG = 4 cm、DC = 3 cm のとき、図 1 の三角形 ABF と、台形 BFDE の面積比を「三角形 ABF の面積 ： 台形 BFDE の面積」の順にできるだけ簡単な整数比で表して下さい。

※ 図は必ずしも正確ではありません。

出題： 長野美光 さん

解答： 4:1

解説：

図３のように、三角形ＡＧＢ，ＡＤＣをそれぞれ辺ＡＧ，ＡＤに対して対称に折り返すと
点Ｂと点Ｃは点Ｈで重なります。
三角形ＤＧＨは角Ｈが直角であり、ＤＨ＝３ｃｍ，ＧＨ＝４ｃｍより、ＧＤ＝５ｃｍとなります。
そこで、図４のように、方眼紙においてみると、辺ＡＤ、辺ＤＥは、３ｃｍ×６ｃｍの長方形の
対角線になります。
ＧＤを底辺とすると、三角形ＡＧＤは高さが６ｃｍであるのに対し、三角形ＥＧＤは高さが３ｃｍ
であるので、面積比は、三角形ＡＧＤ：三角形ＥＧＤ＝２：１　です。
一方、三角形ＡＧＤと三角形ＡＢＦにおいて、ＢＦ＝ＢＣ÷２＝６ｃｍ、ＧＤ＝５ｃｍで、
高さは共通であるので、面積比は、三角形ＡＧＤ：三角形ＡＢＦ＝５：６　です。
以上より、三角形ＡＧＤ：三角形ＥＧＤ：三角形ＡＢＦ＝１０：５：１２　となり、
図５，図６のように各部分の面積比が決まります。
従って、三角形ＡＢＦの面積：台形ＢＦＤＥの面積＝１２：３＝４：１　です。

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