2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 で割った余りがすべて異なるような最小の自然数を求めなさい。
（注 1）ちょうど割り切れるときの余りは 0 として考えてください。
（注 2）なお、答えが存在しない時は 0 を入力してください。
出題： Taro さん
正方形 ABCD の辺 AB 上（両端は含まない）に点 E をとります。
直線 CE で、この正方形を折り返すとき、点 B の移動先を点 B' とし、直線 AB' と辺 BC またはその延長線上との交点を M とします。
今、点 E を図の位置より少し上にとったとき、点 M が辺 BC の中点になりました。
このとき、三角形 AB'E の面積は、正方形 ABCD の面積の□倍になります。
□に当てはまる数を既約分数（それ以上約分できない分数）で、答えてください。
出題： 長野美光 さん
長方形 ABCD の点 D を折り返し、線分 BC 上に置いて E としたところ、角 AEB ＝ 60 度になりました。なお、DC 上にある折り目の端は F とします。
図中に 4 つの直角三角形ができますが、それぞれに内接する円の面積を考えます。もっとも大きな円の面積ともっとも小さな円の面積の比を答えなさい。
出題： 川田智之 さん
1 〜 8 の数字を、表と裏に異なる数字を書いてカードを 4 種類つくりました。
4 種類のカードのそれぞれの面には違う数字が書かれ、重複する数字はないものとします。すなわち、4 種類のカードの両面、合計 8 面に 1 〜 8 のすべての数字が使われていることになります。
さらに、4 種類のカードに対してそれぞれ同じものを 4 枚ずつ作り、全部で 16 枚のカードを作りました。
この中からある 1 枚を取り除き、残りの 15 枚を表裏ランダムに並べました。
（裏に書いている数字は解りません）
その結果は
1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8でした。
1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8でした。
解答例
| (1) | 1 と 6 が書かれたカードが確定し、その他の種類のカードは確定しない場合は 16 |
| (2) | 1 と 6 が書かれたカードと 2 と 7 が書かれたカードが確定する場合 16,27 |
| (3) | 確定するペアが無い場合は 00 |
のように答えて下さい。
出題： Ｙ氏 さん
＜ 問 1 ＞
ある 3 けたの整数があります。この整数は 1 をたすと 2 で割り切れ、2 をたすと 3 で割り切れ、3 をたすと 4 で割り切れ、4 をたすと 5 で割り切れ、5 をたすと 6 で割り切れ、6 をたすと 7 で割り切れます。
この整数は何でしょう。ただし、ない場合は 0 と、2 つ以上ある場合は小さい順に答えてください。
＜ 問 2 ＞
1 辺の長さがある長さの正方形 ABCD が図のようにあります。辺 BC 上に、線分 BP の長さが 5 cm となるように、点 P をとります。
次に、点 A と点 P を直線で結びます。そして、角 DAP の二等分線と辺 DC との交点を Q とします。このとき、線分 DQ の長さは 6 cm となりました。では、線分 AP の長さは何 cm でしょう。
出題： うっしー さん
重さが異なる 5 つの「重り」と「天秤」がありました。
A 君は、B 君に、向かって
「君なら何回天秤を使って、重りを重い順に並べ替えられる？」
と聞きました。B 君は、少し考え、
「うーん、．．．8 回かな」
と答えました。それに対し、A 君は、
「7 回あれば、十分なんだよ」
とこたえ、重りを天秤に載せ始めました。
便宜上、重りには、A, B, C, D, E という名前を付けることにします。
最初の 3 回は、次のような操作をし、次のような結果を得ました。
1 回目 A と B を比べ A > B （A の方が B よりも重い） が判明
2 回目 C と D を比べ C > D が判明
3 回目 A と C を比べ A > C か判明
以下同様に、重りを 1 つずつ比較する操作を（確実に 7 回以内で終わるように）繰り返しましたが、なんと、6 回目の比較が終わった時、
「運が良かったこともあるけど、6 回で終わっちゃった。」
と言って、重い順番に並べ替えました。
さて、A 君が出した結論は、次の (1) 〜 (15) のうちどれでしょうか？
可能性があるものだけを全て挙げて下さい。括弧をつけないで、選択肢番号の小さい順に 1,2,3 というように答えて下さい。
解答選択肢
(1) ABCDE (2) ABCED (3) ABECD
(4) ACBDE (5) ACBED (6) ACDBE
(7) ACDEB (8) ACEBD (9) ACEDB
(10) AEBCD (11) AECBD (12) AECDB
(13) EABCD (14) EACBD (15) EACDB
出題： キューダ さん
図のようにひとつの辺の長さが 6 cm の正方形の中に、直径 3 cm の円が 3 つ入っています。この円が互いに重ならないように、正方形の中を自由に動くとき (*) 、その中のひとつの円の中心 A が通過できる部分の面積を X cm2 とします。
次に、直径 3 cm の円が 2 つ入っているときに、同じように動く円の中心 B の通過できる部分の面積を Y cm2 とします。X + Y を求めてください。
ただし、円周率は、3.14 とします。
(*) 少なくとも一つの円は正方形の 2 辺に接しているものとする。
出題： 高橋道広 さん
親子のカンガルーがいます。親カンガルーが 5 飛びする時間と、子カンガルーが 6 飛びする時間は同じです。親カンガルーが 3 飛びする長さと、子カンガルーが 4 飛びする長さは同じで、親カンガルーの 1 飛びする長さは 2 m です。親子カンガルーが同じ場所にいるとき、次の問いに答えなさい。
先に飛び出した子カンガルーが 40 飛びした時、親カンガルーが出発しました。親カンガルーは、なんとびで飛び続ける子カンガルーに追いつきますか。
出題： ヴェルデイ さん
12 月 1 日、小樽市内の国道沿いにラーメン屋が 2 軒並んで開店しました。
マサルさんが経営する M 店と、トモエさんが経営する T 店です。どちらも評判は上々で、ともに開店以来毎日客を増やし続けています。では、集客を競い合うふたりの日記をごらん下さい。
・トモエさんの日記より。
「今日 6 日、T 店には M 店より 100 人多くの客が来た。」
「今日 8 日の T 店の客の数は、M 店の 5 日〜 8 日の客の数の合計に等しい。」
・マサルさんの日記です。2 日以降毎日同じことを書いています。
「昨日、M 店には、今日の両店の客の数の差の半分しか客が来なかったが、今日、M 店には、昨日の両店の客の数の和の半分も客が来た。」
さて、8 日に、T 店の客の数は M 店の何倍だったのでしょうか。もし割りきれない場合は、小数第 4 位以下を切り捨て小数第 3 位まで答えて下さい。
出題： 中村明海 さん
A, B, C の 3 人がジャンケンゲームをしました。勝負がつく（1 人だけが勝つ、2 人だけが勝つの 2 通りの場合があります）ときだけを考えて、あいこは考えないものとします。勝った回数がある決められた回数に達すると、その人はゲームから抜けて（2 人が同時に抜けてゲームが終わることもあります）、残った 2 人でどちらかが決められた回数だけ勝つまでゲームを続けます。17 回目の勝負で A が勝って A が抜け、20 回目の勝負で B が勝って、ゲームは終わりました。
このとき、C が勝った回数は最も多い場合で何回ですか。
出題： 中学への算数にチャレンジ さん
A, B がゲームをくり返し行い優勝争いをしています。
1 回のゲームで、A, B の勝つ確率はそれぞれ 1/3, 2/3 です。先に 3 勝した方が優勝するものとするとき、A が優勝する確率を求めて下さい。
あいこは、無いことにします。
出題： ako さん
3 cm 間隔で打ち付けられている 2 本の釘の一方に長さ 15 cm の糸を付け、その先に半径 3 cm の円盤を付けます。
糸を張った状態で、可能な限り円盤を回転させる時、
(1) 円盤が通って出来る領域の面積は何 cm2 ですか？
(2) 円盤の中心の軌跡は何 cm ですか？
いずれも円周率は 3.14 とします。
最終的な答えは小数第 3 位を四捨五入してください。
尚、必要であれば、1 辺の長さが 2 cm の正三角形の高さ = 1.732 cm、1 辺が 1 cm の直角二等辺三角形の斜辺の長さ = 1.414 cm で計算してください。
（注） 円盤は釘に引っかかります。
出題： DrK さん
5, 5, 24, 24 を 1 回ずつ使い、四則演算によって 120 を作ってください。
四則演算とは、＋, −, ×, ÷ を使った計算のことです。
( ) は使ってもよいが無駄な使用は不可。
例えば
( 24 ＋ 5 ) ＋ ( 5 ＋ 24 )
この場合は、
24 ＋ 5 ＋ 5 ＋ 24
としてください。小学校で習う範囲の知識だけで解いてください。
解答の方法
＋ → + , − → - , × → * , ÷ → / , ( )
上記の記号を使って 120 となる式を入力してください。
出題： 清川育男 さん
銀次郎くんは全く同じ大きさの正方形の赤いタイルと青いタイルをたくさん持っています。これらのタイルを 9 枚用いて右の図のようなたて、よこともに 3 枚ずつの正方形の模様を作ろうと思います。
また模様は自由に回転させることはできますが、裏返すことはできません。使わない色のタイルがあっても構わないとき、銀次郎くんは何通りの模様を作ることができますか。
出題： 萬田銀次郎(ミナミの鬼) さん
山手線は全部で 29 駅あり総延長は 35 km です。それを平均時速 32 km で電車が回る環状線です。（約 1 時間で一周するわけですね）
200X 年 4 月、山手線に快速電車を走らせることになりました。
停車させる駅は 4 駅に決まりました、また快速停車駅間には少なくともひとつの通過駅があるようにします。
| (1) | 東京駅が快速電車の停車駅として確定した場合、残りの 3 駅の決め方は何通りありますか。 |
| (2) | 確定している停車駅がない場合、4 つの停車駅の決め方は何通りありますか。 |
出題： Ｎａｇａｈｉｒｏ，Ｙ． さん
下の 28 マスのうち、同じ 4 種類の画像が入っているマスは 1 組しかありません。その組み合わせを探してください。ただし、4 種類の置き場所は関係ないものとします。
（解答例： A1,B2 または B2,A1）
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
|---|---|---|---|---|
| A |     |    | | |
| B | | | | |
| C | | | | |
| D | | | | |
| E | | | | |
| F | | | | |
| G | | | | |
出題： 杉本未来 さん
図 1 のような、透明な同じ大きさの立方体の小箱がたくさんあり、小箱の各面の中心には小さな穴があいています。
また、いくつかの小箱には、各面に内接する粘土製の赤玉が入っています。
これから、小箱をすき間なく積み重ねて立方体を作ります。そして、次のような操作を考えます。
まず、長くてまっすぐで細い針金を一本用意します。
小箱を積み重ねて作った立方体の表面に出ている小箱の面をひとつ選び、その面にあいている穴に針金を通し、立方体の反対側まで通します。
そして、針金を最初に通した面に、“針金が貫通した赤玉の数”を記入します。
例えば、図 2-A のように小箱 8 個で立方体を作ったとき、図 2-B は小箱の面のいくつかに数字を記入したものです。
もちろん、針金は折り曲げることはできないものとして、次の問いに答えなさい。なお、「解なし」が正解のものはありません。
| (1) | 27 個の小箱をすき間なく積み重ねて立方体を作りました。 図 3 は、表面に出ている小箱の面に数字をいくつか記入したものです。 このとき、赤玉の入った小箱は何個あると考えられますか。 |
| (2) | 343 個の小箱をすき間なく積み重ねて立方体を作りました。 図 4 は、表面に出ている小箱の面に数字をいくつか記入したものです。 このとき、赤玉の入った小箱は何個あると考えられますか。 |
出題： CRYING DOLPHIN さん
ある円形の池の円周上のコースを A 〜 F の 6 人がまわります。6 人は同じ地点から同時に出発し、A 〜 C は左回りに D 〜 F は右回りにまわります。またそれぞれの速さは、左回りでは C が一番速く次に B, A の順になっています。右回りでは F が一番速く次に E, D の順になっています。さらに B は A と C の平均の速さで、C と E は同じ速さです。
さて、出発してから誰も 1 周しないうちに 6 人の位置関係が見事な正六角形になりました。このとき、6 人の速さの比 A : B : C : D : E : F を最も簡単な整数の比で求めなさい。ただし 6 人は一定の速さでまわるものとします。
出題： たこやき大学 さん
F 君は塾が遠いので、お母さんに車で送り迎えしてもらってます。行きはいいのですが、帰りは残されることが多いので、本当は 7 時に終わるのですが、余裕を見た待ち合わせ時刻を決めています。
さてある日、珍しく時間通りに終わった F 君は「一本道だから、歩いて帰っても、お母さんに会えるや」とおもって、とことこと歩いて帰りました。そして無事お母さんに出会い、早く終わったことを誉められるかと思ったら「あんた、ほんとにばかね〜。ここから車に乗っても、塾で待ってたのと家に着く時間は 6 分しか違わないじゃない」といわれて、シュンとなってしまいました。
では、いつも二人が、待ち合わせている時刻は？ただし、F 君の歩く速さは毎時 4 km、お母さんの車の速さは毎時 60 km とします。
※ 答えは（ ア ）時（ イ ）分として、ア,イ の順にコンマで区切って入力して下さい。
出題： BossF さん
出題： ノースダウン さん
図のように、直角三角形 ABC の辺 AB 上に点 D、辺 BC 上に点 E をとり、2 直線 AE、CD の交点を F とします。
AD = 5 cm、DB = 3 cm、BE = 4 cm、角ア + 角イ = 225 度のとき、三角形 AFC の面積は何 cm2 でしょうか？
（注） 図はやや不正確です。
出題： ぶぶおパパ さん
| (1) | 図 1 のような展開図を組み立てた立体（ア）を考えます。この立体の体積は、図 1 の中の赤い部分（正三角形 ABC）を組み立てた正四面体（イ）の体積の何倍になるでしょう？ なお、青色の辺 DB, EC, CJ, IJ の長さは等しく、その他の辺の長さは全て等しくなっています。また、∠DBC = ∠ECB = 90 度で、DI, HE は一直線です。 |
| (2) | さて、ここであやのりんは、立体（ア）に日本酒が入っていることを発見しました。今、立体（ア）は三角形 HIC が底面となっており、日本酒は丁度半分の高さまであったそうです。 そこで、あやのりんはその日本酒が飲みたくて、どうやってばれないようにこっそり飲もうか考えました。 まず、それをメスシリンダーで正確に量ったところ 59.8 ml あったそうです。そして、今度は三角形 DBF を底面として立体（ア）の丁度半分の高さになるようにちょびっと飲んだそうです。 さて、あやのりんは日本酒を何 ml 飲むことが出来たでしょう？ |
出題： あやのりん さん
長方形（正方形を含む）状にならべた○のなかに 1 から順に数を書き入れていきます。1 は必ず左上の○に書き、また、1 のとなりには 2 を、2 のとなりには 3 を、………と連続する数は必ずとなりあうようにします。（となりあうとは、上下または左右にならんでいる○のことを指します。）
たとえば、
のようにならべたときは、
と 
の 2 通りの書き入れ方があります。
このとき、
のようにならべたときは（ ア ）通りの書き入れ方があり、
のようにならべたときは（ イ ）通りの書き入れ方があります。
※ 解答は ア,イ の順にコンマで区切って答えてください。
出題： POI さん
ひとつのさいころをふって奇数の目が出たら続けてふり、偶数の目が出たら終わり、出た目の数の合計を得点とするゲームがあります。
このゲームをすると 1 の目が 1 回も出なくて得点が 30 点になりました。
このとき 3 の目が出た回数の最大と最小、5 の目が出た回数の最大と最小をそれぞれ求めなさい。
解答欄には 3 の目の最大, 最小, 5 の目の最大, 最小 の順にお答えください。
出題： fumio さん
たて 1392 cm、よこ 2352 cm の長方形の紙 A から一辺の長さが 1 cm より長い正方形の紙を、次の 2 通りの方法で切り取っていくとき、各問いに答えよ。
| (1) | 長方形の紙 A から出来るだけ大きい正方形を切り取り、残った部分からも出来るだけ大きい正方形を切り取る。これを繰り返すと、最後に正方形を切り尽くして、長方形は全ていろいろな大きさのいくつかの正方形に切り分けられる。このとき合計何個の正方形が出来るか。例えば、たて 4 cm、よこ 6 cm の長方形からは、一辺 4 cm の正方形が 1 個、一辺 2 cm の正方形が 2 個、合計 3 個の正方形が出来ると考えられる。 |
| (2) | 長方形の紙 A から同じ大きさの正方形を、紙にあまりのないように切り取り尽くすとき、全部で何通りの切り取り方があるか。例えば、たて 4 cm、よこ 6 cm の長方形からは、一辺 2 cm の正方形を切り取る方法しかあり得ず 1 通りとなる。 |
出題： ヒデー王子 さん
答えはウサギになります。
ただし A, B, E, G, I, R, T には異なる 1 桁の整数が入ります。
A, B, E, G, I, R, T を求めて下さい。
答えはコンマで区切らずに ABEGIRT の順に書いてください。
答えが複数ある時は 0123456,1234567 というようにコンマで区切って書いてください。
出題： かぶとっ さん
世紀末を祝って 2000 人を招待したサラのママ。新年を迎えたらサラに 2001 人のお客さんを招待する事にしました。用意したケーキは均一な円の大きなチーズケーキ 2 つ。1 つのケーキは 2000 等分に切り分けて、世紀末から参加されたお客様用。もう 1 つのケーキは 2001 等分に切り分けて新年にお迎えしたお客様用。
ところが、いざ、皆さんで頂こうとするとお客様が、ケーキの大きさの違いに気が付いてご不満を・・
仕方なくサラのママは、再度ケーキを切りなおすことに。
次のカッコに当てはまる数字を ア,イ の順に答えてください。
必殺サラのママ、ケーキ斬り
出題： サラのママ さん
世界にはディズニーのパークが 4 つあります。
それぞれのパークには、ときどきミッキーマウスが出没し、みんなを楽しませてくれます。
このことについて、昔から一つの噂があります。
「ミッキーマウスはこの世界に一人しかいないので、同時に二つ以上のパークには出現しないように管理されている」
そこで、この噂が本当だとして問題です。
以下の条件のもとに、ミッキーマウスは最も長く存在できるパークに一日最大何分存在できるでしょうか？
出題： 田村稔 さん
図のように川の上流に A 地点、下流に B 地点、湖の B 地点の対岸に C 地点があります（注 1）。
A 地点から C 地点までの距離は 6000 m です（注 2）。
横山君は静水での速さが毎分 60 m のボートに乗って、AC 間を往復しました。
すると、A 地点を出発してから B 地点を通って C 地点に到着するまで 90 分かかり、C 地点を出発してから B 地点を通って A 地点に到着するまで 120 分かかりました。
それでは、次の (1)、(2) の問いに答えてください。
(1) AB 間の川の流速は毎分何 m ですか。
(2) AB 間の距離は何 m ですか。
（注 1） AB 間には一定の流速で水が流れていて、BC 間には水の流れはないということです。
（注 2） A 〜 B の最短距離と B 〜 C の最短距離との合計が 6000 m ということです。
出題： YokoyaMac さん
各辺の長さが 12 cm の立方体 ABCD-EFGH があります。
点 あ 〜 し はこの立方体の辺の中点、点 u 〜 z は面の中心、点 O は立方体の中心です。
問い 1：
8 つの三角すい：
A-きさし, B-くけし, C-おこけ, D-かこさ, E-うえき, F-あえく, G-あいお, H-いうか
の共通部分（重なる部分）の体積は何 cm3 ですか。
問い 2：
4 つの三角すい： A-wxz, C-vyz, F-uxy, H-uvw
の共通部分（重なる部分）の体積は何 cm3 ですか。
※ 設問順にコンマで区切ってお答え下さい。
補足：
それぞれ 8 つまたは 4 つの三角すい全てに共通する部分を考えてください。共通部分は立方体の中心 O を含みます。
よく似た問題（というか「元ネタ」）が、
算数トライアスロン III 第 16 問 （ぶぶおパパさん出題）
http://www.ranking.sansu.org/triathlon3/question/3016.html
夢純館の算数ワールド 問 19 （CRYING DOLPHIN さん出題）
http://ha3.seikyou.ne.jp/home/okabayashi/q-arith.htm
にありますので、参考にして下さい。
出題： ありっち さん
1, 2, 3, 4, 5, 6, … と 1 から順番に番号の書いてあるカードを、おそまつ、さくら、とどまつ、あやめ、からまつ、すみれ、じゅうしまつの 7 人に、おそまつ → さくら → とどまつ → あやめ → からまつ → すみれ → じゅうしまつ → すみれ → からまつ → あやめ → とどまつ → さくら → おそまつ → さくら → とどまつ → … の順に配ります。
ある番号のカードまで配ったとき、おそまつとからまつに配ったカードの枚数の差が 77 枚になりました。
このとき、とどまつの持っているカードの中で最も大きい番号は何番ですか？
考えられるものを全て答えなさい。
出題： イデムリン さん
10 をいくつかの自然数の和に分けます。
（例えば 10 = 3 + 7, 10 = 6 + 2 + 2）
そしてこの分けたものの積をとります。
（上の例で言うと 3 x 7 = 21, 6 x 2 x 2 = 24）
この積の中で最大値は何でしょう。
出題： ちーくん さん
ＫＩＮ君はマークを作ろうと下のような作業をしました。
半径 10 cm の円周上に 12 個等間隔に点を打ちとなりどうしを結びました。（図 1 赤線）
そして、図 1 の水色の部分を赤線を折り目として折りました。
この時、2 枚重ねの部分と 1 枚のみの部分とが出来ますが、1 枚の部分だけを使うことにしました。
これだけだと寂しいので、「ＫＩＮ」という文字を入れることにしました。（図 2）
 （図 1） |  （図 2） |
「ＫＩＮ」という文字は 1 cm x 1 cm のマス目の方眼紙上に書くとこのようになります。（図 3）
 （図 3）(*) |
それでは、この図 2 の灰色の部分の面積は何 cm2 ですか。
（注意： 図 3 の青い点は 1 つのマスの中心、黄緑の点は一辺の中点です。）
(*) 「ＫＩＮ」の文字が図 2 の図形内に描けるよう、図 3 において文字と文字の間の幅を狭めました。文字の形、大きさに変更はありません。
出題： ＫＩＮ さん
〜私の千鳥足、そこにある電灯は一部始終を見ていたらしい。〜
図 1 のように、長方形 PQRS の頂点 S の真上 9 m のところに点光源があります。
図 2 のような光を通さない直方体があり、KL と PQ が常に平行になるようにして、底面の正方形 KLMN の対角線の交点 O が長方形 PQRS 上の青線（図 3）上を、A 点から B 点まで滑って移動したとき、長方形イロハニ上で常に光が当たっていた部分の面積は ( ? )/64 m2 となります。( ? ) に当てはまる数値を求めなさい。図中の数値の単位はすべてメートルです。
滑って移動する様子が分かりづらいかもしれませんが、たとえば、青線が図 4 左のようにあるとすれば（青線は PQ または PS に平行）、図 4 右の黒く塗りつぶしたところが正方形 KLMN の通った部分になります。
図 1）
出題： Hamayan さん
お問い合わせは triathlon(at)sansu.org までどうぞ。