マサルさんとトモエさんが、川の下流 A 地点から上流 B 地点までモーターボートで何往復かする競走をしました。マサルさんが上る速さとトモエさんが下る速さが等しいので、マサルさんの楽勝かと思われましたが、2 台が同時に B 地点を折り返したある瞬間マサルさんのボートがガス欠になり、川の流れに身をまかせるはめになってしまいました。マサルさんは、その後途中でトモエさんに 5 回追い越されながらも、前半のリードがものをいいなんとか同時にゴールイン、めでたく引き分けという結果になったそうです。
さて、この競走で 2 台のボートはそれぞれ水に対してどれだけの距離を走ったのでしょうか。その距離の比を、マサルさんトモエさんの順にもっとも簡単な整数の比で答えてください。
なお、川の流れの速さ、2 台のボートが走る（水に対する）速さは、それぞれ場所や時刻によらず一定とし、また、折り返しのためなどのロスタイムはないものとします。
出題： 中村明海 さん
解答： 167:169
解説：
計算を簡単にするため、Ａ地点からＢ地点までの距離を１、川の流れの速さを１、 として考えることにします。マサルさんが上る速さとトモエさんが下る速さが等しい ので、それを□とすると、それぞれの速さと片道の所要時間は表１のようになりま す。 ＜表１＞ トモエさんの上り：速さ＝□−２，片道の所要時間＝１／（□−２） トモエさんの下り：速さ＝ □ ，片道の所要時間＝１／ □ マサルさんの上り：速さ＝ □ ，片道の所要時間＝１／ □ マサルさんの下り：速さ＝□＋２，片道の所要時間＝１／（□＋２） マサルさんの漂流：速さ＝ １ ，片道の所要時間＝１ （１）ガス欠後の様子から分かること 途中で５回追い越されたということは、マサルさんが下る間にトモエさんは、７回 下り６回上ったことになります。つまり、７／□＋６／（□−２）＝１なので、□は １４と決まり、表１は表２のように整理されます。（□の値は、□にいくつか数をあ てはめてみると簡単に発見できるでしょう。） ＜表２＞ トモエさんの上り：速さ＝１２，片道の所要時間＝１／１２ トモエさんの下り：速さ＝１４，片道の所要時間＝１／１４ マサルさんの上り：速さ＝１４，片道の所要時間＝１／１４ マサルさんの下り：速さ＝１６，片道の所要時間＝１／１６ マサルさんの漂流：速さ＝ １，片道の所要時間＝１ （２）競走は何往復で行われたのか マサルさんはガス欠になったことによって、１−１／１６＝１５／１６だけ余計に 時間を費やしてしまいました。もし、ガス欠がなければ、１往復につき１／１２−１ ／１６＝１／４８ずつ差がつくはずのものが引き分けになってしまったのですから、 競走した往復回数は、（１５／１６）÷（１／４８）＝４５回とわかります。 （３）水に対する走行距離・・・水に対する速さからのアプローチ 表２で、トモエさんの水に対する速さは１３、マサルさんは１５ですから、表２ に、片道あたりの水に対する走行距離を書き加えると、 ＜表３＞ トモエさんの上り：速さ＝１２，片道の所要時間＝１／１２，走行距離＝１３／１２ トモエさんの下り：速さ＝１４，片道の所要時間＝１／１４，走行距離＝１３／１４ マサルさんの上り：速さ＝１４，片道の所要時間＝１／１４，走行距離＝１５／１４ マサルさんの下り：速さ＝１６，片道の所要時間＝１／１６，走行距離＝１５／１６ マサルさんの漂流：速さ＝ １，片道の所要時間＝１ ，走行距離＝０ トモエさんの総走行距離は、 （１３／１２）×４５＋（１３／１４）×４５＝１６９×１５／２８ マサルさんの総走行距離は、 （１５／１４）×４５＋（１５／１６）×４４＝１６７×１５／２８ よって、ふたりの総走行距離の比は、１６７：１６９となります。 （完） （３’）水に対する走行距離の別解・・・流された距離からのアプローチ 水に対する走行距離＝大地に対する走行距離＋戻された距離−押された距離、と考 えることができます。そして、流された距離（戻された距離と押された距離）は、 ・トモエさんの場合 上っていたのべ時間＝（１／１２）×４５、戻された距離＝４５／１２ 下っていたのべ時間＝（１／１４）×４５、押された距離＝４５／１４ 差し引き、戻された距離は ４５／１２−４５／１４＝１５／２８です。 ・マサルさんの場合 トモエさんが下った時間とマサルさんが上った時間が等しいことに注意すると、流 された距離はちょどトモエさんの向きを逆にしたもであることがわかります。 さて、大地に対する総走行距離はふたりとも２×４５＝９０ですから、 ふたりの水に対する総走行距離の比は、 ９０−１５／２８：９０＋１５／２８＝１６７：１６９となります。 （完） 〜正解者掲示板・数楽者さんの解法〜 ガス欠からゴールまでの状況から、トモエさんが水面に対して上った距離と下った距離は 等しくなります。 だから、上りに使った時間と下りに使った時間は同じです。 これから、上りと下りの速さの比は６：７になります。 さらに、トモエさんのボートの速さは、川の流れの１３倍とわかります。 ここから攻めていくことも出来ますね。
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