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算数トライアスロン III
1999 年 12 月 17 日 〜 12 月 31 日

■ 第 9 問 - 内接球の半径

問題図

図のような一辺が 3 cm の立方体 ABCD-EFGH があります。
2 点 P、Q はそれぞれ辺 CD、BC の中点です。
3 点 P、Q、H を通る平面で立方体を切断します。

【問 1】切断面の面積を求めて下さい。（単位は cm2）
【問 2】切断してできる 2 つの立体のうち、小さい方の立体を考えます。面 PQC 以外のすべての面に接する球の半径を求めてください。（単位は cm）

※ 設問順にカンマで区切って答えて下さい。

出題： sambaGREEN さん

■ 第 9 問 - 解答・解説

解答： 【問 1】 81/8 cm2　【問 2】 3/4 cm

解説：

解説図
切断面は等脚台形ＰＱＦＨとなり，
ＨＰ，ＦＱ，ＧＣの延長は，図のように点Ｔで交わる。
２点Ｐ，Ｑはそれぞれ辺ＣＤ，ＢＣの中点であるから，ＣＴ＝３で，
三角錐Ｔ-ＰＱＣと三角錐Ｔ-ＨＦＧは相似比が１：２の相似な立体になる。…(1)

【問１】
　三角錐Ｔ-ＰＱＣの展開図は正方形ＡＢＣＤとなる。
よって，△ＴＰＱ＝△ＡＰＱ＝正方形ＡＢＣＤ−△ＰＱＣ−△ＡＢＱ−△ＡＰＤ
　　　　　　　　＝９−３/２×３/２÷２−３/２×３÷２×２
　　　　　　　　＝２７/８
(1) から△ＴＰＱ ：△ＴＨＦ＝１：４となるから
　　　切断面［台形ＰQＦH］＝２７/８×３＝８１/８（＝10.125）

【問２】
  三角錐Ｔ-ＰＱＣの内接球の半径を求めて，２倍すればよい。　
 三角錐Ｔ-ＰＱＣの体積　Ｖ＝３/２×３/２×3÷６＝９/８
　また，三角錐Ｔ-ＰＱＣに内接する球の半径をｒとすると，
　Ｖ＝△ＴＰＱ×ｒ÷３＋△ＴＰＣ×ｒ÷３＋△ＴＱＣ×ｒ÷３＋△ＣＰＱ×ｒ÷３
　＝［正方形ＡＢＣＤの面積］×ｒ÷３
　＝３×ｒ
３×ｒ＝９/８　から，ｒ＝３/８
よって，　求める球の半径＝３/８×２＝３/４（＝0.75）
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