n 平方の定理 (改)

約束

　以下、k≧2, ai＞0 とする。また簡単のため、bm = a1a2……am とおく。
　Rk = { (x1,…,xk) | x1,…,xk ∈ R } と表す。(R は実数全体の集合)

補題 1

　k 点: (a1,0,…,0), (0,a2,…,0), ……, (0,…,0,ak) ∈ Rk を通る平面 (k-1 次元部分ベクトル空間を平行移動させたもの) の方程式は、 
　　x1/a1 + x2/a2 + …… + xk/ak - 1 = 0
　i.e.　(bk/a1) x1 + (bk/a2) x2 + …… + (bk/ak) xk - bk = 0
である。

補題 2

　点(y1,…,yk)∈Rk から平面: 
　　e1x1 + …… + ekxk + f = 0
までの距離 d' は、 
　　　　 |e1y1 + …… + ekyk + f|
　　d' = ------------------------
　　　　　sqrt(e12 + …… + ek2)
である。

　これを利用して、点(0,…,0,y)∈Rk+1 から平面π: 

　　e1x1 + …… + ekxk + f = 0, xk+1 = 0
までの距離 d を求めよう。

　Rk+1 内の原点からπまでの距離を d' とする。補題 2 より、 

　　　　　　　　　|f|
　　d' = ----------------------
　　　　 sqrt(e12 + …… + ek2).
　三平方の定理 (ピタゴラスの定理) より、 
　　d2 = d'2 + y2
　　　　　　　　f2
　　　= ------------------ + y2
　　　　(e12 + …… + ek2)
　　　　f2 + y2(e12 + …… + ek2)
　　　= -------------------------
　　 　　　(e12 + …… + ek2)　　.
あとはこの平方根をとれば d の値がわかる。

補題 3

　底面積 (底体積) が S, 高さが h である k 次元の柱を P, 底面積 (底体積) が S, 高さが h である k 次元のすいを C とする。それぞれの体積を VP, VC とするとき、
　　VC = VP / k.

　特に k = 2 のときは「三角形の面積が対応する四角形の面積の半分であること」を、k = 3 のときは「柱の体積が対応するすいの体積の 1/3 倍であること」を表している。

[ 証明 ]

　VP = Sh であることは明らか。VC を求めるのだが、高さを t 成分と見て、それに関する輪切りの面積 (体積) を S(t) とおく。それを t について積分し求める。まず、相似比に注意して、S(t) を求めよう。 
　　tk-1 : hk-1 = S(t) : S
　∴　S(t) = S tk-1 / hk-1.

　よって、 

　　VC = ∫0h　S(t) dt
　　　 = ∫0h　S tk-1 / hk-1 dt
　　　 = (S / hk-1) ∫0h　tk-1 dt
　　　 = (S / hk-1) (1/k) [tk]0h
　　　 = (S / hk-1) (1/k) hk
　　　 = Sh / k.　　□

補題 4

　k 点: (a1,0,…,0), (0,a2,…,0), ……, (0,…,0,ak) ∈ Rk からなる凸体の体積 Sk-1 は 
　　　　　　 1　　┌ k　┌ bk ┐2 ┐1/2
　　Sk-1 = ------ │ Σ │----│　│
　　　　　 (k-1)! └i=1 └ ai ┘　┘
である。

[ 証明 ]　(induction)

○　k = 2 のとき:
　R2 内の 2 点: (a1,0), (0,a2) からなる線分の長さ S1 は三平方の定理 (ピタゴラスの定理) から sqrt(a12 + a22) である。一方、b2 = a1a2 であることに注意すると、上の補題では 
　　　　　 1　　┌ 2　┌ b2 ┐2 ┐1/2
　　S1 = ------ │ Σ │----│　│
　　　　 (2-1)! └i=1 └ ai ┘　┘
　　　　 ┌┌ a1a2 ┐2　┌ a1a2 ┐2 ┐1/2
　　　 = ││------│ + │------│　│
　　　　 └└　a1　┘　 └　a2　┘　┘
　　　 = (a22 + a12)1/2
　　　 = sqrt(a12 + a22)
となり、確かに一致する。

○　k = N (≧2) のとき正しいと仮定して、k = N + 1 のとき:
　補題 3 より、SN = SN-1 dN / N である。ここに dN とは、点(0,…,0,aN+1)∈RN+1 から N 点: (a1,0,…,0), (0,a2,…,0), ……, (0,…,an,0) を通る平面までの距離である。具体的には、補題 2 などを用いると、 

　　　　　bk2 + aN+1((bN/a1)2 + …… + (bN/aN)2)
　　dN2 = -------------------------------------
　　　　　　　((bN/a1)2 + …… + (bN/aN)2)
　　　　　Σi=1N+1 (bN+1/ai)2
　　　　= ------------------
　　　　　　Σi=1N (bN/ai)2　.
と表せる。

　　SN = SN-1 dN / N
　　　　　 1　　┌ N　┌ bN ┐2 ┐1/2　dN
　　　 = ------ │ Σ │----│　│　　--
　　　　 (N-1)! └i=1 └ ai ┘　┘　　 N
　　　　 1　┌N+1 ┌ bN+1 ┐2 ┐1/2
　　　 = -- │ Σ │------│　│
　　　　 N! └i=1 └　ai　┘　┘.
(sqrt[Σi=1N (bN/ai)2] が約分されている。)　よって、帰納法により証明できた。　　□

これから Main Theorem を述べよう。

定理　(n+1 平方の定理)

　n+1 点: (a1,0,…,0), (0,a2,…,0), ……, (0,…,0,an), (0,0,…,0)∈Rn からなる (n+1)-方超体を考える。このとき、原点から遠い凸体の体積の２乗は、他の n 凸体の体積の２乗を和したものに等しい。

[ 証明 ]

　前者の値は、補題 4 を用いるとすぐわかるように、 
　　　　　　　1　　　n　┌ bn ┐2 
　　Sn-12 = -------- Σ │----│
　　　　　　(n-1)!2 i=1 └ ai ┘
である。

　(a1,0,…,0) 以外の n 点からなる凸体の体積は 

　　1/(n-1)! * a2a3…an = 1/(n-1)! * bn / a1.
　(0,a2,…,0) 以外の n 点からなる凸体の体積は 
　　1/(n-1)! * a1a3…an = 1/(n-1)! * bn / a2.
……と考えていくと、後者の値は、 
　　[1/(n-1)! * bn / a1]2 + …… + [1/(n-1)! * bn / an]2
　= 1/(n-1)!2 * [(bn/a1)2 + …… + (bn/an)2].
これは前者の値と一致するので、定理が証明できたことになる。　　□


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